一般化三角関数のp=5と、二乗化変換を妨げる超越数

一般化三角関数の\(p = 5\)で、通常の三角関数における算術幾何平均（AGM）のような計算公式を作れるだろうか。その探索から、ある規格化のノームを二乗する変換は、代数的な数を係数とする代数関数では実現できない、という限定された結論を得られる。

ここでは、既知の超幾何関数の公式とゲルフォント・シュナイダーの定理を組み合わせて、その主張を証明する。以下の議論の歴史的新規性は確認していない。また、この結論は、p=5の計算公式やAGM型の算法をすべて排除するものではない。

一般化三角関数とノームを定義する

実数\(p > 1\)に対し、一般化された逆正弦関数を次の積分で定義する。この逆関数が一般化正弦関数\({\sin}_{p}\)で、p=2では通常の正弦関数になる。

{\arcsin}_{p} x = {\int}_{0}^{x} \frac{1}{{( 1 - {t}^{p} )}^{\frac{1}{p}}} d t , 0 \le x \le 1

半周期に当たる定数\({\pi}_{p}\)は次のとおり。p=5でも、この定数そのものには通常の円周率を使った表示がある。

{\pi}_{p} = 2 {\arcsin}_{p} 1 = \frac{2 \pi}{p \sin ( \frac{\pi}{p} )}

この一般化三角関数から定義される完全p楕円積分には、超幾何関数\({}_{2}F_{1}\)による表示がある。以下で使う関数と、その積分との関係をまとめると次になる。定義と表示については、Takeuchiの論文を参照。

{F}_{p} ( z ) = {}_{2}F_{1} ( \frac{1}{p} , 1 - \frac{1}{p} ; 1 ; z )

{K}_{p} ( k ) = \frac{{\pi}_{p}}{2} {F}_{p} ( {k}^{p} ) , 0 \le k < 1

次に、補助変数であるノーム（nome）を次の式で定義する。以後、この規格化を固定する。対数と実数乗は、正の実数上の通常の値を用いる。

{q}_{p} ( z ) = \exp ( - \frac{\pi}{\sin ( \frac{\pi}{p} )} \frac{{F}_{p} ( 1 - z )}{{F}_{p} ( z )} ) , 0 < z < 1

p=2では通常の楕円積分のノームになる。古典的なLanden変換は、このノームを二乗する。そこでp=5でも、\({q}_{5} ( T ( z ) ) = {{q}_{5} ( z )}^{2}\)となる代数的な変換を探す、という方針を考える。

証明する命題の条件

命題。整数\(N \ge 2\)を固定する。十分小さい正の\(z\)で定義され、次の三つの条件をすべて満たす関数\(T\)は存在しない。

\(0 < T ( z ) < 1\)であり、\(z \to {0}^{+}\)のとき\(T ( z ) \to 0\)。
\(T\)は代数的な数を係数とする代数関数である。つまり、係数がすべて代数的数である非零の二変数多項式\(P\)によって、\(P ( z , T ( z ) ) = 0\)と書ける。
固定したノームについて、\({q}_{5} ( T ( z ) ) = {{q}_{5} ( z )}^{N}\)が成り立つ。

「代数的な数」とは、有理数係数の非零多項式の根になる数のこと。ここでは変換の式に現れる数の係数も代数的である、と要求している。任意の複素数を係数として認める場合には、以下の証明は適用できない。

原点での振る舞いから先頭係数を決める

ディガンマ関数\(\psi = \frac{{\Gamma}^{\prime}}{\Gamma}\)を使い、二つの定数を置く。

{R}_{p} = 2 \psi ( 1 ) - \psi ( \frac{1}{p} ) - \psi ( 1 - \frac{1}{p} )

{C}_{p} = {e}^{{R}_{p}}

超幾何関数の接続公式（DLMF 15.8.10でm=0）から、\(z \to {0}^{+}\)で次の展開を得る。

{F}_{p} ( 1 - z ) = \frac{\sin ( \frac{\pi}{p} )}{\pi} ( - \log ( z ) + {R}_{p} + O ( z | \log ( z ) | ) )

一方、原点での級数から\({F}_{p} ( z ) = 1 + O ( z )\)。これらをノームの定義へ代入すると、指数の中は\(\log ( z ) - {R}_{p} + o ( 1 )\)となる。したがって、

{q}_{p} ( z ) \sim \frac{z}{{C}_{p}}

ここで\(\sim\)は、両辺の比が1へ近づくことを意味する。この関係を変換の前後に適用すると、

\frac{T ( z )}{{C}_{5}} \sim {q}_{5} ( T ( z ) ) = {{q}_{5} ( z )}^{N} \sim {( \frac{z}{{C}_{5}} )}^{N}

よって変換の先頭の振る舞いは、必ず次の形になる。

T ( z ) \sim {{C}_{5}}^{1 - N} {z}^{N}

p=5の定数を計算する

黄金比を\(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)と置く。まず、p=5の定数は次の組合せで決まる。

{R}_{5} = 2 \psi ( 1 ) - \psi ( \frac{1}{5} ) - \psi ( \frac{4}{5} )

ガウスのディガンマ関数の公式（DLMF 5.4.19）を分母5の場合に適用する。二つのディガンマ関数を足すと余接の項が打ち消し合い、次を得る。

{R}_{5} = 2 \log ( 10 ) - ( \sqrt{5} - 1 ) \log ( \sin ( \frac{\pi}{5} ) ) + ( \sqrt{5} + 1 ) \log ( \sin ( \frac{2 \pi}{5} ) )

ここで、正五角形に現れる次の三角比を使う。

\sin ( \frac{\pi}{5} ) \sin ( \frac{2 \pi}{5} ) = \frac{\sqrt{5}}{4} , \frac{\sin ( \frac{2 \pi}{5} )}{\sin ( \frac{\pi}{5} )} = \varphi

対数の式を積と比にまとめ直すと、計算を次のように進められる。

{R}_{5} = 2 \log ( 10 ) + \log ( \sin ( \frac{\pi}{5} ) \sin ( \frac{2 \pi}{5} ) ) + \sqrt{5} \log ( \frac{\sin ( \frac{2 \pi}{5} )}{\sin ( \frac{\pi}{5} )} )

{R}_{5} = \log ( 25 \sqrt{5} ) + \sqrt{5} \log ( \varphi )

したがって、ノームの先頭係数に現れた定数は次の値になる。

{C}_{5} = 25 \sqrt{5} {\varphi}^{\sqrt{5}}

ゲルフォント・シュナイダーの定理によれば、0でも1でもない代数的数を、代数的な無理数の乗にした値は超越数になる。黄金比は1より大きい代数的数であり、√5は代数的な無理数なので、この定理を適用できる。

特に\({C}_{5}\)は超越数である。さらに、必要な先頭係数そのものも、

{{C}_{5}}^{1 - N} = {( 25 \sqrt{5} )}^{1 - N} {\varphi}^{( 1 - N ) \sqrt{5}}

と書ける。整数\(N \ge 2\)に対し、指数\(( 1 - N ) \sqrt{5}\)は代数的な無理数である。右辺の黄金比のべきは超越数で、それに掛かる因子は0でない代数的数だから、積も超越数になる。

代数関数の先頭係数と矛盾する

残るのは、「代数的な数を係数とする代数関数の先頭係数は代数的数になる」という点だ。ここでは一般的な級数展開の定理を使わず、多項式へ直接代入して示せる。

先ほど得た形を\(T ( z ) \sim c {z}^{N}\)と書き、定義に用いた非零多項式を次のように表す。和は有限で、\({a}_{i j}\)はすべて代数的数とする。

P ( z , w ) = {\sum}_{i , j} {a}_{i j} {z}^{i} {w}^{j}

係数が0でない項のうち、次の重みが最小になるものを集める。

m = {\min}_{{a}_{i j} \ne 0} ( i + N j )

恒等式\(P ( z , T ( z ) ) = 0\)を\({z}^{m}\)で割り、\(z \to {0}^{+}\)の極限を取る。最小の重みより大きい項は0へ近づくので、

{\sum}_{i + N j = m} {a}_{i j} {c}^{j} = 0

を得る。これは\(c\)についての非零の多項式である。同じ\(j\)に対して\(i + N j = m\)となる\(i\)は一つしかなく、同じ次数の係数同士が打ち消し合うことはないためだ。

したがって、\(c\)は代数的数を係数とする非零多項式の根であり、代数的数でなければならない。ところが今回の\(c = {{C}_{5}}^{1 - N}\)は超越数だった。矛盾する。

これで命題が証明された。特に\(N = 2\)の場合、ここで固定したノームを二乗する代数的係数の変換は存在しない。

この証明が言えることと、届かない範囲

同じ規格化で定数を計算すると、次の違いが見える。この表は定数の比較であり、各pの計算公式がどこまで研究済みかを示す表ではない。

p	定数 C_p	数の性質
2	16	代数的数
3	27	代数的数
4	64	代数的数
5	\(25 \sqrt{5} {\varphi}^{\sqrt{5}}\)	超越数
6	432	代数的数

p=2、3、4、6では、この先頭係数に関する矛盾は生じない。ただし、障害がないことだけで変換の存在が証明されるわけではない。また、p=6の例からも分かるように、この結果を「pが5以上ならすべて不可能」と読むことはできない。

規格化の条件も重要だ。たとえば、次のようにノームを定数倍すると、原点での先頭係数を1にできる。

\widetilde{{q}_{5}} ( z ) = {C}_{5} {q}_{5} ( z ) \sim z

この新しいノームを二乗する条件は、元のノームでは超越数を掛けた変換則に変わる。その場合、上の先頭係数による矛盾は消える。これは別の変換が実際に存在するという証明ではなく、今回の議論だけでは排除できない、という意味である。

同様に、変換の係数に超越数を許す方法、ノームの整数乗とは違う変換則を用いる方法、変数を増やした反復法も、この命題の対象には含まれない。得られたのは、p=5で古典的な二乗化をそのまま模倣しようとした際の、明示的な障害である。

参考資料

Shingo Takeuchi, The complete p-elliptic integrals and a computation formula of π_p for p=4。一般化三角関数、完全p楕円積分、およびその超幾何関数表示の出典。
NIST Digital Library of Mathematical Functions, 式15.8.10。原点近くのノームの振る舞いに用いた接続公式。
NIST Digital Library of Mathematical Functions, 式5.4.19。有理数でのディガンマ関数の値。
Yum-Tong Siu, Theorem of Gelfond–Schneider on Transcendental Numbers。超越性に用いた定理の講義資料。